Posted by 在理论篇中，我笼统地介绍了地幔对流的基本概念、地幔对流的基本方程式、瑞利数的意义以及相变对地幔对流的影响等理论知识。而在随后发布的实践篇中，我展示了通过数值模拟计算出的地幔对流结果，并围绕计算结果说明了瑞利数、计算区域形状、岩石相变等对计算结果的影响。除此之外，在为期整整3天的春之学校中，我还与森重先生探讨了很多关于地球科学和物理学的其他问题。在本文杂谈篇中，我将通过4个模块来逐个介绍其中比较有趣的话题。
如何直接测定岩石粘性率？——观测冰后回弹
还记得我在实践篇的末尾提到的一些无奈之处吗？为了精确地描述岩石的粘性率，诸如式(10)(11)等十分复杂的物理模型被研究者们陆陆续续提出来（Morishige & Honda, 2013; Dixon, et al., 2004）。可以想象到，由于在式(10)(11)中，温度、压强、深度、应变率、含水量等物理量错综复杂，因此即便这些物理模型看起来十分贴合现实情况，我们也难以评估其准确性。
\begin{cases}
\eta_\mathrm{diff} = A_\mathrm{diff} d^p \exp \left( \frac{E_\mathrm{diff}}{RT} \right) \\
\eta_\mathrm{disl} = A_\mathrm{disl} \tau^{1-n} \exp \left( \frac{E_\mathrm{disl}}{RT} \right) \\
\frac{1}{\eta} = \frac{1}{\eta_\mathrm{diff}} + \frac{1}{\eta_\mathrm{disl}}
\end{cases} \tag{10}\eta_\mathrm{eff} = \dot{\varepsilon}^\frac{1-n}{n} A^\frac{-1}{n} f_\mathrm{H_2 O}^\frac{-r}{n} \left\{ \exp \left( - \frac{PV + H}{RT} \right) \right\}^\frac{-1}{n} \tag{11}为了避免纸上谈兵，地质学家们早在数十年前就发现了一种可以直接观测岩石粘性率的方法——观测一种名为冰后回弹（post-glacial rebound）的现象。这种现象主要发生在冰川消融后的地区。根据地壳均衡（isostasy）理论，如果长期覆盖在某地的冰川融化，由于其重量会在相对短的时间内从地壳上移除，因此当地的地壳会逐渐回弹。
对弹性力学较为熟悉的朋友应该都知道，在理想情况下，岩石的粘性率\eta仅与应力\sigma和应变率\dot{\varepsilon}有关。其中，应变率\dot{\varepsilon}是指单位时间内的材料长度变化比率。虽然与先前提到的模型(10)(11)遇到的难点一样，我们无法钻入地下来直接观测深部岩石受到的应力，但随着大地测量学和地震学等学科的进步，目前人类已经可以仅通过地表获得到的信息来评估地下的应力场分布了（Zang & Stephansson, 2009）。而观测冰后回弹现象的本质就是观测岩石的应变率\dot{\varepsilon}，因此我们可以较为直接地获取到曾覆盖有冰川的地区之下的岩石粘性率等信息。
不过，由于冰后回弹现象的时间规模通常为数千至数十万年，因此精确观测冰后回弹现象绝非是一件简单的事情。此外，岩石在地球内部中经常会呈现出各向异性的特征，因此仅通过观测冰后回弹现象也并不一定可以获得十分可靠的关于岩石粘性率的信息（Han & Wahr, 1997）。这便要求研究者们需要通过多种方式来进行综合研究，从而获得更为准确的结论。
如何构造出板块的物理模型？——利用热传导方程
由于地壳的厚度相对于地球半径而言基本可以忽略，因此在对地球内部进行研究时，地壳经常被排除在研究对象之外。然而，作为我们人类赖以生存的圈层，在研究地震活动、地壳构造、地壳对地幔对流的影响等内容时，有时也需要考虑地壳的厚度、温度分布等问题。
为了再现出板块的特征，有许多关于地壳的物理模型被提出。例如，半空间冷却模型（half-space cooling model）就是其中最为经典的例子之一。在该模型下，地壳表面被假定为是一个绝热边界（即热量不允许通过地壳表面流失的界面）。在这种情况下，地壳内部的温度分布可以通过热传导方程来描述，即
\frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \frac{\partial^2 T}{\partial z^2} \tag{12}此外，在该模型下地球是无限深的，因此初期条件和边界条件可表述为
\begin{cases}
T = T_m & (t=0, z=0) \\
T = 0 & (z = 0) \\
T = T_m & (z = \infty)
\end{cases} \tag{13}根据式(12)(13)，我们可以得到解析解
T (z, t) = T_m \mathrm{erf} \left( \frac{z}{2\sqrt{\kappa t}} \right) \tag{14}其中，\mathrm{erf}是指高斯误差函数。
若将式(14)绘制在z-t图像中，则可以得到如图14所示的图像。可以看出，随着时间t的增长，“板块”（温度较低的领域）的厚度会变得越来越大。这与现实中的海洋板块的特征是十分接近的。
除该模型外，还有众多更能反映出现实情况的板块模型被陆续提出。不过，即便半空间冷却模型只是一个十分简化的模型，但它仍然可以为我们理解地壳的热演化过程提供重要的参考。
俯冲到地幔里的板块去哪了？——成为停滞板片
长期关注中国东北部、日本、智利等地地震的人或许会察觉，在这些地域偶尔会发生震源深度极大的地震。这种震源深度超过200千米的地震被称为深源地震（deep-focus earthquake）。根据地球物理学家的研究，深源地震基本都发生在沿俯冲带向地幔内部俯冲的板片之中。为了纪念发现了这种特殊区域的2位学者，这种区域被称为和达-贝尼奥夫带（Wadati–Benioff zone）。一般而言，和达-贝尼奥夫带最深只能达到约670 km深。
那么，在超过670 km深的地方，这些俯冲至地幔内部的板块去哪了呢？为了回答这个问题，我们需要回想起理论篇中提到的相变。在克拉佩龙斜率大于0，即相变为放热相变时，板块在相变界面附近会获得额外的重力。与之相反的是，如果克拉佩龙斜率小于0，即相变为吸热相变时，则板块在相变界面附近会获得额外的浮力。
截至目前，人们发现670 km深的地方普遍存在着吸热相变的界面。因此，在理想情况下，板块俯冲至约670 km深时将会停止向下俯冲，转而沿着670 km面延伸分布。这种沿着670 km面分布的板片被称为停滞板片（stagnant slab）。作为一个经典例子，我们可以观察Zhao, et al. (2009)运用地震层析成像法（seismic tomography）解析得到的中国东北部和日本附近的地震波速度构造图（图15）。
在图15中，我们可以发现蓝色的区域（即地震波速度较快的区域，可以视为俯冲至地幔内部的板片）在海沟（trench）处开始向地幔内部俯冲。在俯冲至约600 km深时，板块便不再继续向下俯冲，转而沿着600 km深的平面向中国东北部延伸分布，成为停滞板片。
然而，并不是所有地方的板块都会在约670 km深的地方成为停滞板片。Fukao & Obayashi (2013)同样通过地震层析成像法对世界各地的俯冲带进行了研究，发现有不少地区的停滞板片的所处深度都大幅超过了670 km。其中，如图16所示，甚至在中美海沟（Middle America Trench）向地幔俯冲的板片的一部分像是不受到任何外部影响一样，朝着古登堡界面（地幔和外核之间的界面）一路俯冲下去，并且未形成明显的停滞板片。这些奇妙的板片分布提起了各地地球物理学者的兴趣，近年以来一直是固体地球物理学中的热门话题。
如何解决地球热源之谜？——观测地球中微子
在此次春之学校中，我和森重先生还聊到了地球内部发热对地幔对流的影响。随着话题的深入，我们不约而同地谈及起了地球中微子（geoneutrino）这一新兴研究。关于地球中微子与地球内部发热量的具体关系，可以参见我曾在2023年9月发布的一篇博文《论文笔记：Partial radiogenic heat model for Earth revealed by geoneutrino measurements》。
作为生存于地表之上的生物，在白天我们可以感受到来自太阳的巨大热量。然而，除非有亲身去过火山口附近、泡过天然温泉的经历，很少有人可以感受到来自地球内部的热量。这种来自地球内部的热量到底有多少？这种内部热究竟从何而来？地球科学的研究者们一直在试图搞清楚诸如此类的问题。
然而，面对半径长达6400千米的地球，平均身高只有不到2米的人类难以直接前往地球内部去一探究竟。即便如此，研究者们也提出了多种方法来试图回答以上谜题。例如，利用上一章提到的地震层析成像法来推算地球内部物质的地震波速度，从而推测出地球内部物质的温度、软硬等。再例如，通过对来自地球内部的岩石样品中放射性同位素的测量和分析，从而推断出地球内部热量的来源和分布。或许有人会感到疑惑，人类该怎么获取地球内部的岩石样品呢？实际上，人们已经发现了很多地幔物质通过火山喷发直接喷发到地表的例子。这种地幔物质被称为捕获岩（xenolith）。此外，研究者们也可以通过在实验室中模拟出地球内部的高温高压环境，从而制作出地球内部的岩石样本。
通过上述种种观测，加之学者们提出的一系列地球模型，最终人们发现地球内部的发热总功率约为46±3 TW（TW：太瓦，即1012瓦）。其中，来自放射性同位素的发热总功率占一半左右，而另一半的来源主要包括地球形成时的残留热等。
作为富有好奇心的生物，人类在科学研究的路上永无止境。在了解了地球内部发热的总量和大致来源后，人们又开始了疑问——有哪些放射性同位素参与了地球内部的发热？各个放射性同位素的占比为多少？当然，这些疑问并不是没有意义的。正如图17所示，如果我们能够了解放射性同位素目前在地球内部的数量N(t)，结合我们已经测定过的各个同位素的半衰期\lambda，我们便可以通过放射性衰变公式
N(t) = N_0 e^{-\lambda t}\tag{15}来反推出地球形成初期时的放射性同位素数量N_0。这对人类理解地球起源和演化过程具有重要意义。
然而，由于过往的地球物理方法都无法解答这些新的问题，因此人们在探索地球内部热源的问题上陷入了短暂的困境。最终，地球科学与高能物理学的梦幻联动在该问题上成功实现了突破。日本东北大学中微子科学研究中心的KamLAND（神冈液态闪烁体反中微子探测器）团队通过观测地球内部的放射性元素衰变时产生的地球中微子，最终于2011年得出有地球中有20.0(+8.8; -8.6) TW的热来自于238-U和232-Th的结论。关于同样被认为是地球内部占比较大的放射性同位素40-K，由于其衰变链释放的反中微子所携带的能量远低于当时世界上仅有的几个中微子观测设施的观测阈值，因此该团队未能求出40-K的发热功率（The KamLAND Collaboration, 2011）。即便如此，这也为人类解开地球内部热源之谜提供了关键的入口。随着各国不断建设能够观测低能中微子的设施，并且地球科学与物理学之间的交叉合作日益密切，我们或许很快就能在解答上述问题的道路上迈出更深的一步。
参考文献
- Morishige, M., & Honda, S. (2013). Mantle flow and deformation of subducting slab at a plate junction. Earth and Planetary Science Letters, 365, 132-142.
- Dixon, J. E., Dixon, T. H., Bell, D. R., & Malservisi, R. (2004). Lateral variation in upper mantle viscosity: role of water. Earth and Planetary Science Letters, 222(2), 451-467.
- Zang, A., & Stephansson, O. (2009). Stress field of the Earth’s crust. Springer Science & Business Media, p. 133.
- Han, D., & Wahr, J. (1997). An analysis of anisotropic mantle viscosity, and its possible effects on post-glacial rebound. Physics of the earth and planetary interiors, 102(1-2), 33-50.
- Zhao, D., Tian, Y., Lei, J., Liu, L., & Zheng, S. (2009). Seismic image and origin of the Changbai intraplate volcano in East Asia: Role of big mantle wedge above the stagnant Pacific slab. Physics of the Earth and Planetary Interiors, 173(3-4), 197-206.
- Fukao, Y., & Obayashi, M. (2013). Subducted slabs stagnant above, penetrating through, and trapped below the 660 km discontinuity. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 118(11), 5920-5938.
- Ershov, B. (2022). Natural radioactivity and chemical evolution on the early earth: prebiotic chemistry and oxygenation. Molecules, 27(23), 8584.
- The KamLAND Collaboration. (2011). Partial radiogenic heat model for Earth revealed by geoneutrino measurements. Nature Geoscience, 4, 647–651.