保守力下的不可压缩牛顿流体涡量方程的推导

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保守力下的不可压缩牛顿流体涡量方程

在保守力的条件下，不可压缩牛顿流体的涡量方程为

\frac{d\bm{\omega}}{dt} = \bm{\omega}\cdot\nabla\bm{v} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\bm{\omega} \tag{*}

其中， $\bm{\omega} = \nabla \times \bm{v}$ 为流体的涡度， $\bm{v}$ 为流体的流速， $\mu$ 为流体的粘度， $\rho$ 为流体的质量密度。

假设一个受到某作用力的粒子从某个位置移动到另一个位置。若作用于该粒子的力所做的功与移动路径无关，则称此力为保守力（conservative force）。

保守力 $\bm{F}$ 可由位势 $\phi$ 的梯度来表达，即

\bm{F} = -\nabla\phi \tag{1}

假设某一种流体的流速 $\bm{v}$ 的散度等于零，即该流体满足

\nabla \cdot \bm{v}=0 \tag{2}

则我们称这种流体具有不可压缩性（incompressibility），并将这种流体称为不可压缩流体（incompressible fluid）。将式(2)代入至连续性方程中，可得

\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\nabla\rho)\cdot\bm{v} = -\rho(\nabla\cdot\bm{v}) = 0 \tag{3}

这意味着，不可压缩粘性流体的质量密度是一个不变的常数。

应力与应变率成正比的流体，即满足如下关系的流体被称为牛顿流体（Newtonian fluid）。

\tau = \mu \frac{du}{dz} \tag{4}

其中， $\tau$ 为流体所受到的剪应力， $\mu$ 为流体的黏度， $du/dz$ 为速率在垂直于剪应力方向上的梯度。

如果流体不服从式(4)的关系，则称为非牛顿流体（non-Newtonian fluid）。

根据纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），不可压缩粘性流体的运动可用下式进行描述。

\frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v}\cdot\nabla\bm{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{v} + \bm{K} \tag{5}

其中， $\bm{v}$ 为流体的流速， $\mu$ 为流体的粘度， $\rho$ 为流体的质量密度， $\bm{K}$ 为流体受到的外力。

根据向量分析，式(5)左半边的平流项可变形为

\bm{v} \cdot \nabla \bm{v} = \frac{1}{2} \nabla (|\bm{v}|^2) - \bm{v} \times (\nabla\times\bm{v}) = \frac{1}{2} \nabla (|\bm{v}|^2) - \bm{v} \times \bm{\omega} \tag{6}

其中， $\bm{\omega} = \nabla \times \bm{v}$ 为流体的涡度。将式(1)(6)代入至式(5)，可得

\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}= -\nabla\phi -\frac{1}{\rho}\nabla p -\frac{1}{2}\nabla(|\bm{v}|)^2 + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{v} + \bm{v}\times\bm{\omega} \tag{7}

对式(5)左右两边取旋度，则有

(\rm{LHS}) = \nabla \times \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = \frac{\partial (\nabla\times\bm{v})}{\partial t} = \frac{\partial \bm{\omega}}{\partial t} \tag{8}

(\rm{RHS}) = \nabla \times \left[ -\nabla\phi -\frac{1}{\rho} \nabla p -\frac{1}{2}\nabla(|\bm{v}|)^2 \right] + \frac{\mu}{\rho} \nabla \times (\nabla^2 \bm{v}) + \nabla \times (\bm{v}\times\bm{\omega}) \tag{9}

其中，由于旋度的散度为零，易知式(9)的第1项为零。而关于第2项和第3项，则有

\begin{aligned} \nabla \times (\nabla^2 \bm{v}) &= \nabla \times \begin{pmatrix} \nabla^2 u \\ \nabla^2 v \\ \nabla^2 w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\partial (\nabla^2 w)}{\partial y} - \frac{\partial (\nabla^2 v)}{\partial z} \\ \frac{\partial (\nabla^2 u)}{\partial z} - \frac{\partial (\nabla^2 w)}{\partial x} \\ \frac{\partial (\nabla^2 v)}{\partial x} - \frac{\partial (\nabla^2 u)}{\partial y} \\ \end{pmatrix} \\ & = \nabla^2 \begin{pmatrix} \frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \\ \frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \\ \end{pmatrix} = \nabla^2(\nabla \times \bm{v}) = \nabla^2 \bm{\omega} \end{aligned} \tag{10}

\begin{aligned} \nabla \times (\bm{v}\times\bm{\omega}) &= \bm{v} (\nabla \cdot \bm{\omega}) - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + (\bm{\omega} \cdot \nabla) \bm{v} - (\bm{v} \cdot \nabla) \bm{\omega} \\ &= \bm{v} [\nabla \cdot (\nabla \times \bm{v})] - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} - \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} \\ &= - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} - \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} \\ \end{aligned} \tag{11}

将式(10)(11)代入至式(9)，结合式(8)，可得

\frac{\partial \bm{\omega}}{\partial t} + \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} = \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{\omega} - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) \tag{12}

将式(2)代入至式(12)后，可求出保守力下的不可压缩牛顿流体涡量方程

\frac{d\bm{\omega}}{dt} = \bm{\omega}\cdot\nabla\bm{v} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\bm{\omega} \tag{*}

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