Posted by 保守力下的不可压缩牛顿流体涡量方程
在保守力的条件下，不可压缩牛顿流体的涡量方程为
\frac{d\bm{\omega}}{dt} = \bm{\omega}\cdot\nabla\bm{v} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\bm{\omega} \tag{*}其中，\bm{\omega} = \nabla \times \bm{v}为流体的涡度，\bm{v}为流体的流速，\mu为流体的粘度，\rho为流体的质量密度。
基础概念
保守力
假设一个受到某作用力的粒子从某个位置移动到另一个位置。若作用于该粒子的力所做的功与移动路径无关，则称此力为保守力（conservative force）。
保守力\bm{F}可由位势\phi的梯度来表达，即
\bm{F} = -\nabla\phi \tag{1}
不可压缩性
假设某一种流体的流速\bm{v}的散度等于零，即该流体满足
\nabla \cdot \bm{v}=0 \tag{2}则我们称这种流体具有不可压缩性（incompressibility），并将这种流体称为不可压缩流体（incompressible fluid）。将式(2)代入至连续性方程中，可得
\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial \rho}{\partial t} + (\nabla\rho)\cdot\bm{v} = -\rho(\nabla\cdot\bm{v}) = 0 \tag{3}这意味着，不可压缩粘性流体的质量密度是一个不变的常数。
牛顿流体
应力与应变率成正比的流体，即满足如下关系的流体被称为牛顿流体（Newtonian fluid）。
\tau = \mu \frac{du}{dz} \tag{4}其中，\tau为流体所受到的剪应力，\mu为流体的黏度，du/dz为速率在垂直于剪应力方向上的梯度。
如果流体不服从式(4)的关系，则称为非牛顿流体（non-Newtonian fluid）。
式(*)的推导
根据纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations），不可压缩粘性流体的运动可用下式进行描述。
\frac{\partial \bm{v}}{\partial t} + \bm{v}\cdot\nabla\bm{v} = -\frac{1}{\rho}\nabla p + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{v} + \bm{K} \tag{5}其中，\bm{v}为流体的流速，\mu为流体的粘度，\rho为流体的质量密度，\bm{K}为流体受到的外力。
根据向量分析，式(5)左半边的平流项可变形为
\bm{v} \cdot \nabla \bm{v} = \frac{1}{2} \nabla (|\bm{v}|^2) - \bm{v} \times (\nabla\times\bm{v}) = \frac{1}{2} \nabla (|\bm{v}|^2) - \bm{v} \times \bm{\omega} \tag{6}其中，\bm{\omega} = \nabla \times \bm{v}为流体的涡度。将式(1)(6)代入至式(5)，可得
\frac{\partial \bm{v}}{\partial t}= -\nabla\phi -\frac{1}{\rho}\nabla p -\frac{1}{2}\nabla(|\bm{v}|)^2 + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{v} + \bm{v}\times\bm{\omega} \tag{7}对式(5)左右两边取旋度，则有
(\rm{LHS}) = \nabla \times \frac{\partial \bm{v}}{\partial t} = \frac{\partial (\nabla\times\bm{v})}{\partial t} = \frac{\partial \bm{\omega}}{\partial t} \tag{8}(\rm{RHS}) = \nabla \times \left[ -\nabla\phi -\frac{1}{\rho} \nabla p -\frac{1}{2}\nabla(|\bm{v}|)^2 \right] + \frac{\mu}{\rho} \nabla \times (\nabla^2 \bm{v}) + \nabla \times (\bm{v}\times\bm{\omega}) \tag{9}其中，由于旋度的散度为零，易知式(9)的第1项为零。而关于第2项和第3项，则有
\begin{aligned}
\nabla \times (\nabla^2 \bm{v}) &= \nabla \times
\begin{pmatrix}
\nabla^2 u \\ \nabla^2 v \\ \nabla^2 w
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{\partial (\nabla^2 w)}{\partial y} - \frac{\partial (\nabla^2 v)}{\partial z} \\
\frac{\partial (\nabla^2 u)}{\partial z} - \frac{\partial (\nabla^2 w)}{\partial x} \\
\frac{\partial (\nabla^2 v)}{\partial x} - \frac{\partial (\nabla^2 u)}{\partial y} \\
\end{pmatrix} \\
& = \nabla^2 \begin{pmatrix}
\frac{\partial w}{\partial y} - \frac{\partial v}{\partial z} \\
\frac{\partial u}{\partial z} - \frac{\partial w}{\partial x} \\
\frac{\partial v}{\partial x} - \frac{\partial u}{\partial y} \\
\end{pmatrix}
= \nabla^2(\nabla \times \bm{v})
= \nabla^2 \bm{\omega}
\end{aligned} \tag{10}\begin{aligned}
\nabla \times (\bm{v}\times\bm{\omega}) &= \bm{v} (\nabla \cdot \bm{\omega}) - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + (\bm{\omega} \cdot \nabla) \bm{v} - (\bm{v} \cdot \nabla) \bm{\omega} \\
&= \bm{v} [\nabla \cdot (\nabla \times \bm{v})] - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} - \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} \\
&= - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) + \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} - \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} \\
\end{aligned} \tag{11}将式(10)(11)代入至式(9)，结合式(8)，可得
\frac{\partial \bm{\omega}}{\partial t} + \bm{v} \cdot \nabla \bm{\omega} = \bm{\omega} \cdot \nabla \bm{v} + \frac{\mu}{\rho} \nabla^2 \bm{\omega} - \bm{\omega} (\nabla \cdot \bm{v}) \tag{12}将式(2)代入至式(12)后，可求出保守力下的不可压缩牛顿流体涡量方程
\frac{d\bm{\omega}}{dt} = \bm{\omega}\cdot\nabla\bm{v} + \frac{\mu}{\rho}\nabla^2\bm{\omega} \tag{*}